有一种幸福lnf一起向着夕阳？vetr数学积分

一道高数题积分题求助在线等509

分享一2113种解法。5261)sint(1-cost)²dt+∫(0,2π)(1-cost)³dt=I1-I2+I3。

①对I1=∫(0,2π)t(1-cost)²dt。令t=2π-x。经整理，4102有I1=π∫1653(0,2π)t(1-cost)²dt=…=3π²。

②对I2=∫(0,2π)sint(1-cost)²dt=∫(0,2π)(1-cost)²d(1-cost)=…=0。

③对I3=∫(0,2π)(1-cost)³dt=∫(0,2π)(1-3cost+3cos²t-cos³t)dt=…=5π。

∴原式=π(3π+5)。

供参考。

f(x) = 4(cosx)^4

f(-x) =f(x)

∫(-π/2→π/2) 4(cosx)^4dx

=8∫(0→π/2) (cosx)^4dx

=2∫(0→π/2) (1+cos2x)^2dx

=2∫(0→π/2) (1+2cos2x + (cos2x)^2 )dx

=∫(0→π/2)(2+4cos2x + 1+cos4x )dx

= [3x + 2sin2x + (1/4)sin4x ]|(0→π/2)

=3π/2

换元法：令arcsinx=u，则x=sinu，dx=cosudu

原式=∫ u²cosu du

=∫ u² dsinu

分部积分

=u²sinu - 2∫ usinu du

=u²sinu + 2∫ u dcosu

第二次分部积分

=u²sinu + 2ucosu - 2∫ cosu du

=u²sinu + 2ucosu - 2sinu + c

=xarcsin²x + 2√(1-x²)arcsinx - 2x + c

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