有一种幸福yceeh一起向着夕阳？pwhs数学积分

∫arcsinxdarcsinx 都没有公式可用，怎么积分呀？

这是最简单的积分！

∫arcsinxdarcsinx＝1/2arcsin²x＋C.

或者你就令t＝arcsinx

则原式＝∫tdt＝1/2t²＋C＝1/2arcsin²x＋C

记A=∫e^2xsin3xdx

用分部积分法：

A=0.5e^(2x)sin3x-∫0.5e^(2x)3cos3xdx

=0.5e^(2x)sin3x-1.5∫e^(2x)cos3xdx

=0.5e^(2x)sin3x-1.5[0.5e^(2x)cos3x+∫0.5e^(2x)3sin3xdx]

=0.5e^(2x)sin3x-0.75e^(2x)cos3x-2.25∫e^(2x)sin3xdx

=0.5e^(2x)sin3x-0.75e^(2x)cos3x-2.25A

故3.25A=0.5e^(2x)sin3x-0.75e^(2x)cos3x

A=[0.5e^(2x)sin3x-0.75e^(2x)cos3x]/3.25

=[2e^(2x)sin3x-3e^(2x)cos3x]/13

从而原式∫e^2xsin3xdx=[2e^(2x)sin3x-3e^(2x)cos3x]/13 +C

这函数的不定积分不能用已知的基本初等函数表示，是一个所谓的高等函数。

但是这个函数在 -∞ 到+∞ 的积分值是可以算出来的

e^-x^2 作变换t=根号2x dx= dt/根号2

那么原积分就 = 根号π *积分 1/根号(2π) * e^ (- t^2 /2) dt

1/根号(2π) * e^ (- t^2 /2) 是正态分布的分布函数，所以这个在-∞到正无穷大的积分是 1

再乘以前面提取的根号π 答案是根号π

楼上提供的方法也可以算出e^-x^2 在整个R上的广义积分是根号π

至于e^-x^2 的原函数不是一个初等函数，是没法积出来的

## 级数展开

第三步积分的时候注意：f(0)=arccos(0)=π/2